Nesta tese estudamos o crescimento de sístoles ao longo de sequencias de recobrimentos de uma superfície hiperbólica fechada fixada. Estudamos tam-
bém a distribuição do conjunto das superfícies aritméticas no espaço moduli de superfícies hiperbólicas fechadas e uma forma quantitativa da conjectura
de Ehrenpreis. Os principais resultados desta tese incluem os seguintes teoremas.
Mostramos que o conjunto de superfícies aritméticas fechadas de gênero g não é bem distribuído no espaço moduli de superfícies hiperbólicas fechadas
de gênero g , i.e. , usando uma métrica auxiliar no espaço moduli mostramos que para qualquer conjunto compacto podemos encontrar superfícies arbi-
trariamente distante de qualquer superfície aritmética se o gênero é suficientemente grande.
Em constraste, mostramos que para qualquer sequencia de supefícies hiperbólicas com gêneros diferentes, podemos achar uma sequencia de su-
perfícies aritméticas com o mesmos gêneros correspondentes tal que os logaritmos de suas sístoles tem o mesmo crescimento.
Para cada superfície aritmética fechada Buser-Sarnak e Katz-Schaps-Vishne construíram uma sequencia de recobrimentos de tal superfície com
crescimento logaritmico da sístole com uma constante explícita. Generalizamos essas construções para superfícies semi-aritméticas que admitem mer-
gulho modular.