Esta Tese tem o proposito de estudar superfícies de curvatura média constante em espaços homogêneos. Uwe Abresch and Harold Rosenberg descobriram um diferencial quadrático holomorfo definido em qualquer superfície de curvatura média constante nos espaços que tem seu grupo de isometrias tem dimensão quatro. Contudo, não existem pares de Codazzi associados a este diferencial nos casos mas generais de este tipo de espaços homogêneos . Esta Tese esta dividida em tres partes; na primeira parte, nós definiremos um par de Codazzi geométrico asociado ao diferencial de Abresch-Rosenberg sobre uma superfície de curvatura media em qualquer dos espaços homogêneos que seu grupo de de isometrias é de dimensão quatro.

Na segunda parte da Tese, usaremos o par de Codazzi geométrico para calcular uma equação tipo Simons para superfícies de curvatura média constante. Como aplicações da equação anterior, primeiro nós estudaremos o comportamento das superfícies de curvatura média constante com curvatura total de Abresch-Rosenberg finita. Segundo, nós estimaremos o primeiro autovalor de um operador Schrödinger definido sobre uma superfície de curvatura media constante com curvatura total de Abresch-Rosenberg finita. Finalmente, nós classificaremos superfícies completas de curvatura média constante (não necessariamente com curvatura total de Abresch-Rosenberg finita) nos espaços homogêneos . Na terceira parte da Tese, usaremos o par de Codazzi geométrico para classificar discos compactos de curvatura média constante imersos no espaços homogêneos que seu grupo de isometrias tem dimensão quatro . Em particular, nós classificaremos discos compactos imersos que encontram transversalmente uma superfície de Abresch-Rosenberg ao longo do bordo com ângulo constante; primeiro, nós faremos isto quando a fronteira é uma curva suave e depois estudaremos o caso quando a curva é suave por partes.