Preprint C113/2010
On Poincaré Series of Singularities of Curves over Finite Fields
DDIC
Keywords: Series de Poincaré | funções zeta e singularidades de curvas sobre corpos finitos
Para cada par de ideais fracion�rios de um anel local em um ponto singular de uma curva alg�brica, geometricamente integral e definida sobre um corpo finito, h� associada uma serie de Poincar� em m vari�veis, onde m � o n�mero de ramos da singularidade da curva. Esta serie codifica as cardinalidades de certos conjuntos finitos de ideais fracion�rios e pode ser representada como uma integral no contexto da an�lise harm�nica. Al�m disso, tamb�m permite estudar fun��es zeta locais. Neste trabalho desenvolvemos m�todos para computar estas series e estudamos o comportamento das mesmas � respeito de mudan�a do corpo de constantes e de explos�es do anel local. Como os an�is que resultam ap�s estas opera��es n�o s�o an�is locais, embora semi locais, n�s estendemos naturalmente a defini��o da serie de Poincar� multi-vari�veis para an�is semi-locais e mostramos a rela��o entre as duas teorias. Al�m disso, provamos no caso semi-local algumas propriedades provadas no caso local. Neste trabalho, n�s tamb�m mostramos que quando o anel local � residualmente racional o semi-grupo associado determina as series de Poincar� multi-vari�veis. Em particular, para curvas algebroides planas, esta serie permite associar ao anel local da curva uma serie em m vari�veis, que � um invariante completo da classe de equi-singularidade. Esta serie � tamb�m similar as series de Poincar� em varias vari�veis associadas a germes de curvas alg�bricas singulares complexas.