Preprint C78/2009
Subvariedades de posto dois parabólicas
Pedro Morais
Keywords: Geometry of submanifolds | isometric rigidity
As subvariedades de posto dois em codimensão dois surgem naturalmente no estudo da rigidez isométrica, uma vez que nesta situação a segunda forma fundamental é o mais degenerada possível sem ser plana. Em codimensão arbitrária, o primeiro espaço normal destas subvariedades tem dimensão não superior a três. O caso de dimensão um foi estudado por Dajczer e Tojeiro onde concluiram que a subvariedade é uma hipersuperfície. Quando a dimensão é três, veremos que a subvariedade é uma superfície Euclidiana ou um cone sobre uma superfície esferica. Quando o primeiro espaço normal tem dimensão dois, surgem as subvariedades parabólicas, elípticas e hiperbólicas. As subvariedades elípticas foram estudadas por Dajczer e Florit. Neste trabalho estudamos o caso parabólico. Com o objetivo de descrever parametricamente estas subvariedades, estudamos o caso regrado separadamente, uma vez que estas subvariedades apresentam, em geral, parametrizações simples. Caracterizamos ainda as subvariedades parabólicas que são regradas como sendo aquelas que admitem uma imersão isométrica como hipersuperfície. Estudamos a rigidez isométrica das parabólicas em codimensão dois, onde concluímos que as que não são regradas em nenhum aberto são isometricamente rígidas. Obtemos assim os primeiros exemplos conhecidos de subvariedades de posto dois que são isometricamente rígidas.