Fonctions et Feuilletages Levi-flat Étude locale.

D. Cerveau et P. Sad

1 Introduction

Les hypersurfaces analytiques réelles Levi-flat de l’espace ℂ^{n} ≃ ℝ^{2n} ont été introduites et étudiées, tout de moins lorsque n = 2, au début de 20^{ème} siècle par Almer et E. Cartan sous le nom d’hyperplanoïdes. On définit à l’époque un hyperplanoïde comme un lieu à un paramètre de surfaces caractéristiques; on dirait aujourd’hui une hypersurface analytique réellefeuilletée en hypersurfaces complexes holomorphes.

Plus précisément soit H ⊂ U ⊂ ℂ^{n} une hypersurface analytique réelle lisse d’un ouvert U de ℂ^{n}. Le ℝ-hyperplan tangent T_{x}H ⊂ T_{x}ℝ^{n} contient un unique espace vectoriel complexe de dimension maximale n − 1, noté T_{x}^{ℂ}H = T_{x}H∩ i T_{x}H où i = \sqrt{−1}. On obtient ainsi un champ d’hyperplans complexes sur H; lorsque ce champ est intégrable au sens de Frobenius, l’hypersurface H est feuilletée en hypersurfaces complexes, le feuilletage correspondant étant analytique réel. Dans cette éventualité on dit que H est Levi-flat. Si H ⊂ U ⊂ ℂ^{n} est une hypersurface analytique réelle avec singularités nous dirons encore que H est Levi-flat si sa partie lisse H_{lisse} est elle même Levi-flat. Toutes ces notions se laissent évidemment germifier.

Le théorème suivant est dû à E. Cartan ([Ca]): soit H un germe d’hypersurface lisse analytique réel en l’origine de ℂ^{n}. Si H est Levi-flat, il existe une submersion holomorphe F telle que H soit donné par H = (ReF = 0). En particulier, H peut être transformée biholomorphiquement en un hyperplan réel ℝ^{2n−1} ⊂ ℂ^{n}.

Disons à l’inverse, et sans trop entrer dans les détails, que H est générique si le champ d’hyperplans x ↦ T_{x}^{ℂ} est lui même générique, en particulier non intégrable; on peut penser à une condition plus forte du type H ne contient pas de courbes holomorphes. La recherche d’une description qualitative des groupes d’automorphismes des domaines bornés a conduit maintes publications sur les surfaces géneriques. Citons le travail séminal de Chern et Moser [C-M] qui en donnent une forme normale holomorphe et les travaux récents de Baouendi et ses collaborateurs ([Ba]), où l’on trouvera les différentes problématiques sur le sujet.

Pour revenir aux hypersurfaces Levi-flat les premiers résultats significatifs concernant les cas singuliers sont dus à D. Burns et X. Gong en 1999 [B-G]. Ils démontrent qu’une quadrique réelle Levi-flat de ℂ^{n} est de l’un des types suivants (à isomorphisme ℂ-linéaire près):

1. Re(z_{1}^{2} + ⋯ + z_{k}^{2}) = 0, k ≤ n.

2. (z_{1} + z̄_{1})(z_{2} + z̄_{2}) = 0.

3. z_{1}z̄_{1} − z_{2}z̄_{2} = 0.

4. z_{1}^{2} + 2λz_{1}z̄_{1} + z̄_{1}^{2} = 0, λ ∈ ℝ.

Ils établissent ensuite un résultat de type Morse pour les hypersurfaces Levi-flat; en particulier si H Levi-flat est donné en 0 ∈ ℂ^{n} par

Re(z_{1}^{2} + ⋯ + z_{n}^{2}) + o(|z|^{2}) = 0

il existe un biholomorphisme qui transforme H en la quadrique

Re(z_{1}^{2} + ⋯ + z_{n}^{2}) = 0.

Notre but ici est de présenter quelques propriétés élémentaires des feuilletages Levi-flat. Si F est un feuilletage analytique réel de codimension un (réelle) de l’ouvert U ⊂ ℂ^{n}, nous dirons que F est Levi-flat si les feuilles régulières de F le sont. Une telle notion peut, via les cartes, se globaliser et l’on a la notion de feuilletage analytique réel de codimension un (avec ou sans singularité) Levi-flat sur une variété complexe M. Nous commençons avec un résultat de rigidité dans l’esprit du point de vue adopté par les auteurs mentionnés ci-dessus: soit P : ℂ^{n} → ℝ un polynôme de degrée N. Supposons que le feuilletage défini par les niveaux de P soit Levi-flat. Si P vérifie une certaine condition algébrique ouverte dans l’espace des polynômes de degré N, alors P est la partie réelle d’un polynôme holomorphe.

Contrairement à cette situation, en général le feuilletage F^{ℂ} en feuilles holomorphes contenu dans un feuilletage Levi-flat F peut être non holomorphe (i.e. la structure transverse est non holomorphe). La notion naturelle d’équivalence est alors la suivante: deux feuilletages Levi-flat F_{1} et F_{2} définis sur les variétes complexes M_{1} et M_{2} sont CR-équivalents (ou CR conjugués) s’il existe Φ : M_{1} → M_{2} un difféomorphisme analytique réel satisfaisant:

1. Φ conjugue F_{1} et F_{2}.

2. Φ conjugue F_{1}^{ℂ} et F_{2}^{ℂ}.

3. Φ est holomorphe dans chaque feuille de F_{1}^{ℂ} à valeurs dans la feuille correspondante de F_{2}^{ℂ}.

Cette notion va nous permettre de revisiter le théorème de Frobenius classique version Levi-flat: un feuilletage Levi-flat non singulier est localement CR conjugué au feuilletage donné par Rez_{1} = cste.

Ensuite nous étudions, du point de vue local, les feuilletages singuliers Levi-flat ayant un lieu singulier de type Kupka-Reeb. Selon la position du lieu singulier par rapport au feuilletage par hypersurfaces complexes (tangence ou transversalité), nous pouvons les comparer aux feuilletages linéarisés et dans certains cas prouver que l’équivalence CR est effectivement holomorphe (Théorèmes 6.1 et 8.2).

Nous démontrons aussi (Théorème 7.1) un ”lemme de Morse” Levi-flat en dimension supérieure à trois.

2 Notations-définitions et exemples

Nous allons préciser les notions précédentes en adoptant délibérément un point de vue à la Cartan. On munit ℂ^{n} des coordonnées (z_{1}, …, z_{n}), z_{j} = x_{j} + y_{j}. Soit F un feuilletage analytique réel (éventuellement singulier) de codimension un sur l’ouvert U de ℂ^{n} défini par la 1-forme intégrable analytique réelle

ω_{1} = ∑_{j} a_{j}d x_{j} + ∑_{j} b_{j}d y_{j}, a_{j}, b_{j} ∈ O_{ℝ}(U).  (2.1)

On peut, quitte à diviser ω_{1} par le pgcd des a_{j}, b_{j}, supposer que ω_{1} ne s’annulent que sur un ensemble Sing(F) de codimension deux réelle.

On associe à chaque point z ∈ U régulier du feuilletage F l’hyperplan complexe Σ_{z}^{ℂ}(F) tangent à la feuille par z; le champ d’hyperplans Σ^{ℂ}(F) est donné par le noyau de la 1-forme différentielle analytique (à valeurs complexes)

Ω = ∑_{j}(a_{j} − ib_{j})dz_{j};  (2.2)

cette 1-forme se prolonge naturellement (par la formule) à U (et ne s’annule que sur un ensemble de codimension deux réelle). Le champ Σ^{ℂ}(F) est analytique réel, mais pas forcément holomorphe.

L’égalité Ω = ω_{1} + iω_{2} avec

ω_{2} = − ∑_{j} b_{j}d x_{j} + ∑_{j} a_{j}d y_{j},  (2.3)

entraîne que Σ^{ℂ}(F) est aussi défini par le système de Pfaff < ω_{1}, ω_{2} >.

Le feuilletage F est Levi-flat si Σ^{ℂ}(F) est intégrable; dans cette situation, on obtient un feuilletage F^{ℂ} dont les feuilles sont holomorphes.

Lorsque ω_{1} = d f, où f : U ⊂ ℂ^{n} → ℝ est une fonction analytique réelle sur l’ouvert U de ℂ^{n}, le champ d’hyperplans complexes Σ^{ℂ}(f) est défini par

Ω = \frac{∂f}{∂z} dz = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂z_{i}} dz_{i}

et les 1-formes différentielles analytiques ω_{1} et ω_{2} sont donnés par

\begin{matrix}ω_{1} = d_{ℝ}f = ∑_{j} \frac{∂f}{∂x_{j}} dx_{j} + ∑_{j} \frac{∂f}{∂y_{j}} dy_{j} \\ ω_{2} = − ∑_{j} \frac{∂f}{∂y_{j}} dx_{j} + ∑_{j} \frac{∂f}{∂x_{j}} dy_{j}, \end{matrix}  (2.4)

La fonction f est Levi flat si Σ^{ℂ}(f) est intégrable.

Dans le cas particulier où f est la partie réelle d’une fonction holomorphe F = f +i g, on observe que dω_{2} = 0 ce qui est que la traduction des conditions de Cauchy-Riemann:

ω_{2} = − ∑_{j} \frac{∂f}{∂y_{j}} dx_{j} + ∑_{j} \frac{∂f}{∂x_{j}} dy_{j} = ∑_{j} \frac{∂g}{∂x_{j}} dx_{j} + ∑_{j} \frac{∂g}{∂y_{j}} dy_{j} .

Évidemment ici Σ^{ℂ}(f) est holomorphe et définit un feuilletage holomorphe régulier sur l’ouvert U privé d’un ensemble analytique (ici complexe) de codimension ≤ 2; les feuilles de ce feuilletage sont bien sûr les niveaux de F.

Toutes les définitions présentées sont invariantes par biholomorphismes et s’implantent sur une variété complexe.

Comme nous l’avons déjà dit, le champ d’hyperplans Σ^{ℂ}(f) n’est pas intégrable ni holomorphe en géneral. Examinons pour constater celà quelques exemples. Considérons sur ℂ^{n} la forme quadratique associée au produit hermitien standart Q(z) = ∑_{j} |z_{j}^{2}| = ∑_{j}(x_{j}^{2} + y_{j}^{2}). Alors Σ^{ℂ}(Q) ne peut pas être intégrable, sinon une feuille générique serait l’image par une immersion d’une variété complexe de dimension n − 1 contenue dans une fibre de Q et donc bornée, ce qui est absurde par le principe du maximum (en fait, un

calcul explicite donne Ω = \frac{∂Q}{∂z} dz = 2 ∑_{j} z̄_{j}d z_{j}, et on constate via cette

formule que le champ d’hyperplans Σ^{ℂ}(Q) n’est pas holomorphe, pas plus qu’intégrable).

Donnons maintenant l’exemple d’une fonction analytique réelle f : U → ℝ tel que Σ^{ℂ}(f) soit intégrable, mais ne définisse pas un feuilletage holomorphe (cet exemple nous a été indiqué par J-M. Lion). Pour celà, considérons une application A : ℂ → ℂ, ℝ-linéaire inversible mais non ℂ-linéaire et faisons la construction suivante dans ℂ^{2}. En joignant les points (0, z_{2}) et (1, Az_{2}) par une droite complexe nous construisons un feuilletage G analytique réel de codimension 2 au voisinage de l’origine dans ℂ^{2}. C’est un feuilletage en feuilles holomorphes, non singulier en (0, 0) ∈ ℂ^{2} qui ne peut être holomorphe, sinon A serait ℂ-linéaire. Par le théorème de Frobenius ordinaire, il existe des fonctions analytiques réelles f et g à l’origine de ℂ^{2}, intégrales premières de G. Le feuilletage non singulier donné au voisinage de (0, 0) ∈ ℂ^{2} par les fibres de f est Levi-flat et le champ d’hyperplans Σ^{ℂ}(f) n’est pas holomorphe (il est holomorphe ssi A est ℂ-linéaire). En fait, on peut choisir les fonctions f et g de la façon suivante: donné (x, y) ∈ ℂ^{2} au voisinage de l’origine, il existe une droite par les points (x, y), (0, z_{2}) et (1, Az_{2}); évidenment z_{2} s’écrit comme une fonction rationelle de dégree 1 des coordonnées réelles de x et y. On prend f et g comme Rez_{2} et Imz_{2}.

3 Un résultat de rigidité

Nous nous plaçons dans cette section dans un contexte algébrique global. Introduisons dans un premier temps une condition algébrique de non dégénérescence pour un feuilletage Levi-flat donné par les niveaux d’une fonction analytique f : (ℂ^{n}, 0) → (ℝ, 0) non submersive en 0 ∈ ℂ^{n}. Soient ω_{1} et ω_{2} définies par (2.4). Comme ces 1-formes différentielles sont analytiques réelles à l’origine de ℝ^{2n} ≃ ℂ^{n}, on peut considérer leur complexifiés ω_{1}^{ℂ} et ω_{2}^{ℂ} obtenus par substitution de variables complexes u_{j} et v_{j} en place de x_{j} et y_{j}; les 1-formes différentielles ω_{1}^{ℂ} et ω_{2}^{ℂ} sont holomorphes à l’origine de ℂ^{2n} et bien sûr, de par l’hypothèse Levi-flat, définissent un feuilletage de codimension 2 complexe en l’origine de ℂ^{n}. Le lieu singulier Sing(ω_{1}^{ℂ} ∧ ω_{2}^{ℂ}) de la 2-forme ω_{1}^{ℂ} ∧ ω_{2}^{ℂ} est l’ensemble analytique complexe

Sing(ω_{1}^{ℂ} ∧ ω_{2}^{ℂ}) = {m ∈ ℂ^{2n}; (ω_{1}^{ℂ} ∧ ω_{2}^{ℂ})(m) = 0}

Nous dirons que f est non dégénérée si cod Sing(ω_{1}^{ℂ} ∧ ω_{2}^{ℂ}) ≥ 3. Exemple 3.1 Soit f = Re(z_{1}^{2} + ⋯ + z_{2}^{2}); un calcul élémentaire montre que f est non dégénérée pour n ≥ 3, mais ne l’est pas pour n = 2. En fait, supposons, avec les notations précédents, que m ∈ Sing(ω_{1}^{ℂ} ∧ ω_{2}^{ℂ}) et ω_{1}^{ℂ}(m) ≠ 0. Alors en m on a ω_{2}^{ℂ} = λω_{1}^{ℂ}(m) pour un certain λ ∈ ℂ; si l’on écrit explicitement (f^{ℂ} est le complexifié de f) on obtient pour j = 1, …, n:

\begin{aligned}\frac{∂f^{ℂ}}{∂u_{j}} (m) & = & −λ\frac{∂f^{ℂ}}{∂v_{j}} (m) \\ \frac{∂f^{ℂ}}{∂v_{j}} (m) & = & λ\frac{∂f^{ℂ}}{∂u_{j}} (m), \end{aligned}

et l’on constate que λ = ± i. Par suite Sing(ω_{1}^{ℂ} ∧ ω_{2}^{ℂ}) contient l’ensemble {m ∈ ℂ^{2} ; ω_{2}^{ℂ}(m) = ± iω_{1}^{ℂ}(m)}, et cet ensemble est pour n = 2 de codimension 2 (ou vide, mais c’est le cas submersif). Ainsi la notion de non dégénérescence n’est opérante qu’en dimension n ≥ 3.

On a le théorème suivant à la Malgrange:

Théorème 3.1. Soit f : (ℂ^{n}, 0) → (ℝ, 0) analytique réelle Levi-flat. Si f est non dégénérée, il existe g : (ℂ^{n}, 0) → (ℝ, 0) analytique réelle intégrale première de Σ^{ℂ}(f) telle que d f ∧ d g ≢ 0. En particulier, les feuilles locales de Σ^{ℂ}(f) sont les composantes connexes des niveaux de f + i g, et sont donc des hypersurfaces holomorphes fermées (dans un petit ouvert où les objets sont représentés).

Preuve: le système de Pfaff < ω_{1}^{ℂ}, ω_{2}^{ℂ} > à l’origine de ℂ^{2n} est intégrable et satisfait les hypothèses du Frobenius II de Malgrange [Mal II]. Comme on sait déjà que ω_{1}^{ℂ} = d f^{ℂ}, ceci produit une fonction holomorphe g̃ : (ℂ^{n}, 0) → (ℂ, 0) telle que < ω_{1}^{ℂ}, ω_{2}^{ℂ} >=< d f^{ℂ}, d g̃ >. Comme le système est construit par complexification d’un système réel on peut supposer que g̃ = g^{ℂ} pour une certaine fonction analytique g : (ℂ^{n}, 0) → (ℝ, 0). D’où le résultat.

En appliquant le Frobenius I de Malgrange [Mal I], on obtient la généralisa-

tion suivante. Soit F un feuilletage analytique réel Levi-flat en 0 ∈ ℂ^{n} donné par ω_{1} intégrable; si ω_{2} est comme dans (2.3), on dit encore que F est non dégénérée en 0 ∈ ℂ^{n} si codSing(ω_{1}^{ℂ} ∧ ω_{2}^{ℂ}) ≥ 3.

Théorème 3.2. Soit F feuilletage Levi-flat non dégénérée en 0 ∈ ℂ^{n}. Il existe deux fonctions analytiques réelles f et g satisfaisant:

1. f est intégrale première de F, plus précisement, ω_{1} = a d f, où a est une unité.

2. d f ∧ d g ≢ 0 et g est intégrale première de Σ^{ℂ}(F), plus précisement < ω_{1}, ω_{2} >=< d f, d g >.

Preuve: d’après Frobenius I, il existe f satisfaisant 1); on applique alors le Théorème 3.1 à cet f.

Venons en maintenant au résultat annoncé dans l’introduction. Soit P : ℂ^{n} → ℝ un polynôme réel que nous écrivons sous la forme P = P_{0} + ⋯ + P_{N}, où chaque P_{k} est homogène de degré k

Théorème 3.3. Supposons que le polynôme P soit Levi-flat. Si P_{N} est non dégénéré, il existe un polynôme complexe P^{ℂ} : ℂ^{n} → ℂ tel que P = Re P^{ℂ}. En particulier le feuilletage Σ^{ℂ}(P) est holomorphe, en fait donné par les niveaux de P^{ℂ}.

Preuve: elle s’appuie sur un argument de division utilisé par Malgrange dans les preuves de Frobenius I et II. Rappelons le Lemme de Division de deRham-Saito ([Sa]):

Lemme. Soient α_{1}, ⋯, α_{k} des germes de 1-formes holomorphes à l’origine de ℂ^{n}; supposons que cod Sing(α_{1} ∧ ⋯ ∧ α_{k}) ≥ p + 1 où p ∈ ℕ. Alors sont équivalents pour Θ p-forme holomorphe à l’origine de ℂ^{n}:

1. Θ ∧ α_{1} ∧ ⋯ ∧ α_{k} = 0

2. Θ s’écrit Θ = ∑_{j} β_{j} ∧ α_{j}, où les β_{j} sont des p − 1 formes holomorphes.

Nous appliquons ce résultat pour p = 2, i.e., pour les 2-formes différentielles.

Considérons comme d’habitude les 1-formes différentielles ω_{1} = d P = d P_{1} + ⋯ + d P_{N} et ω_{2} = ω_{2}^{0} + ⋯ + ω_{2}^{N−1}, où chaque ω_{2}^{k} est une 1-forme différentielle à coefficients homogènes de dégré k. Nous allons montrer que ω_{2} est fermée, i.e. que chaque ω_{2}^{k} est fermée. La condition Levi-flat dit que

ω_{1} ∧ ω_{2} ∧ d ω_{2} = 0,

égalité que l’on peut complexifier. On peut alors appliquer le Lemme de Division (aux complexifés) puisque P_{N} est non dégénérée:

d ω_{2}^{N−1,ℂ} = β_{1} ∧ d P_{N} + β_{2} ∧ ω_{2}^{N−1,ℂ},

où les 1-formes différentielles β_{j} peuvent être choisies à coefficients homogènes. Mais les coefficients de d ω_{2}^{N−1} étant de degré plus petit que ceux de ω_{2}^{N−1} et d P_{N}, ces β_{j} sont donc nuls et d ω_{2}^{N−1} = 0.

Supposons que l’on ait montré que d ω_{2}^{j} = 0 pour k < j ≤ N − 1. On a alors

d (P_{0} + P_{1} + ⋯ P_{N}) ∧ (ω_{2}^{0} + ⋯ + ω_{2}^{N−1}) ∧ d (ω_{2}^{0} + ⋯ + ω_{2}^{k})

dont le terme de plus haut degré est

d P_{N} ∧ ω_{2}^{N−1} ∧ d ω_{2}^{k} = 0 .

Le même argument que précédemment dit que d ω_{2}^{k} = 0; ainsi ω_{2} est fermée et il existe donc un polynôme Q tel que ω_{2} = d Q.

Comme nous l’avons déjà vu, la condition ω_{2} fermée donne les conditions de Cauchy-Riemann, c’est à dire que P^{ℂ} = P + i Q est holomorphe.

Il n’exist pas un résultat comme le Théorème 3.3 dans le cadre rationel; par exemple, si l’on regarde la construction à la fin de la Section 2, en dégree 1 le feuilletage par droites n’est pas génériquement holomorphe (parce que ceci dépend d’un choix ℂ-linéaire de A).

4 Frobenius non singulier Levi-flat

Nous nous proposons d’établir le

Théorème 4.1 Soit F un feuilletage analytique réel Levi-flat non singulier à l’origine de ℂ^{n}, de codimension un réelle. Alors F est CR-conjugué au feuilletage associé à la fonction Re z_{n}.

Preuve: Par le théorème de Frobenius classique, il existe une submersion locale f en 0 ∈ ℂ^{n} intégrale première de F; quitte à faire un changement de coordonnées ℂ-linéaire, on peut supposer que la différentielle de f en 0 ∈ ℂ^{n} coïncide avec d x_{n} = d Re z_{n}. Par suite, la feuille de F^{ℂ} passant par 0 est tangente à l’hyperplan z_{n} = 0. En résulte que les feuilles voisines de Σ^{ℂ}F sont transverses à la fibration verticale (z_{1}, …, z_{n−1}) = cste; ainsi la feuille passant par le point (0, …, 0, t) ∈ ℂ^{n} est le graphe d’une fonction holomorphe (z_{1}, …, z_{n−1}) ↦ ϕ_{t}(z_{1}, …, z_{n−1}) dépendant ℝ-analytiquement du paramètre t ∈ ℂ.

Considérons l’application analytique réelle Ψ : (ℂ^{n}, 0) → (ℂ^{n}, 0) définie par (z_{1}, …, z_{n−1}, z_{n}) ↦ (z_{1}, …, z_{n−1}, ϕ_{z_{n}}(z_{1}, …, z_{n−1})). Comme ϕ(0) = z_{n}, Ψ est un difféomorphisme local et, à z_{n} fixé, Ψ est holomorphe. On constate facilement que Ψ est une conjugaison CR entre le feuilletage holomorphe z_{n} = cste et le feuilletage Σ^{ℂ}F.

L’application f ∘ Ψ est intégrale première de z_{n} = cste; dit autrement, f ∘ Ψ(z) = l(z_{n}, z̄_{n}) pour une certaine fonction analytique réelle l définie à l’origine de ℂ. Visiblement, l est submersive et donc il existe un difféomorphisme analytique h : (ℂ, 0) → (ℂ, 0) tel que l ∘ h(z_{n}) = Re z_{n}. Finalement l’application Ψ̃ : (z_{1}, …, z_{n−1}, z_{n}) ↦ (z_{1}, …, z_{n−1}, ϕ_{h(z_{n})}(z_{1}, …, z_{n−1})) satisfait f ∘ Ψ̃ = R(z_{n}) et donne une conjugaison CR entre le feuilletage Re z_{n} = cste et F.

5 Feuilletages linéaires

Disons qu’un feuilletage sur ℝ^{m} est linéaire s’il est donné par une 1-forme différentielle intégrable η = ∑_{j} c_{j}d x_{j} où les c_{j} sont des fonctions linéaires qui ne s’annulent pas sur un même hyperplan réel.

G. Reeb ([Re]) a établi le résultat suivant (valable aussi dans le cas complexe):

Théorème Soit η comme ci-dessus; on a l’alternative suivante:

1. η est fermée, i.e., η = d Q où Q est quadratique.

2. il existe un système de coordonnées linéaires u_{1}, …, u_{n} de ℝ^{m} dans lequel η s’écrit

η = (α_{1}u_{1} + α_{2}u_{2})d u_{1} + (β_{1}u_{1} + β_{2}u_{2})d u_{2}

où les α_{j}, β_{j} sont des constantes. Dit autrement, η ne dépend que de deux variables.

En voici la variante Levi-flat:

Théorème 5.1. Soit F un feuilletage (réel) linéaire de ℂ^{n} ≃ ℝ^{2n} donné par une 1-forme différentielle intégrable ω. Si F est Levi-flat, alors ω est de l’un des types suivants (dans un système de coordonnées linéaires complexes z_{1} ⋯, z_{n}):

ω = d (Re(z_{1}^{2} + … z_{k}^{2})), k ≤ n  (5.1)
ω = x_{1} d x_{2} − x_{2} d x_{1}, x_{j} = Re z_{j}, j = 1, 2  (5.2)
ω = (α_{1} x_{1} + α_{2} y_{1})d x_{1} + (β_{1} x_{1} + β_{2} y_{1})d y_{1}, z_{1} = x_{1} + iy_{1}. (5.3)

Preuve: on utilise le théorème de Reeb. Lorsque ω = d Q, le niveau Q = 0 est Levi-flat singulier. On peut alors invoquer le résultat de [B-G] qui dit que Q est de l’un des types suivantes:

a)Re(z_{1}^{2} + … z_{k}^{2}), k ≤ n.
b)(z_{1} + z̄_{2})(z_{2} + z̄_{2}) = 4 x_{1}x_{2}.
c)z_{1}z̄_{1} − z_{2}z̄_{2} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} − x_{2}^{2} − y_{2}^{2}.
d)z_{1}^{2} + 2λz_{1}z̄_{1} + z̄_{1}^{2}, λ ∈ ℝ.

Les cas a) et d) entrent dans notre énoncé. Dans les cas b) et c), un calcul élémentaire montre que Σ^{ℂ}F n’est pas intégrable.

Plaçons nous maintenant dans la deuxième alternative de Reeb, où ω = (α_{1}u_{1} + α_{2}u_{2})d u_{1} + (β_{1}u_{1} + β_{2}u_{2})d u_{2}. Si le 2-plan réel défini par les coordonnées {u_{1}, u_{2}} est complexe, après un changement ℝ-linéaire de coordonnées on se trouve dans l’éventualité 3). Sinon, on écrit u_{1} = Re z_{1} et u_{2} = Re z_{2} où z_{1} et z_{2} sont des coordonnées complexes indépendantes. On note z_{j} = x_{j} + i y_{j}, et ainsi (selon (2.1) et (2.3)):

\begin{matrix}ω_{1} = (α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2})d x_{1} + (β_{1} x_{1} + β_{2} x_{2})d x_{2} \\ ω_{2} = (α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2})d y_{1} + (β_{1} x_{1} + β_{2} x_{2})d y_{2} \end{matrix}

On a:

ω_{1}∧ω_{2}∧d ω_{2} = (α_{2}β_{1}−β_{2}α_{1})(α_{1}x_{1}^{2}+(α_{2}+β_{1})x_{1}x_{2}+β_{2}x_{2}^{2})dx_{1}∧dx_{2}∧dy_{1}∧dy_{2}.

Puisque ω_{1} ne s’annule pas sur un hyperplan (i.e. α_{2}β_{1} − β_{2}α_{1} ≠ 0), on voit que ω_{1} ∧ ω_{2} ∧ d ω_{2} = 0 si et seulement si α_{1} = β_{2} = 0 et α_{2} + β_{1} = 0. D’où le résultat.

Remarque: dans le premier cas, le feuilletage Σ^{ℂ}F est donné par les niveaux de la forme quadratique z_{1}^{2} + ⋯ + z_{k}^{2}; dans le troisième, Σ^{ℂ}F correspond aux niveaux de z_{1}. Dans ces deux cas Σ^{ℂ}F est holomorphe. Par contre, dans l’éventualité 2), Σ^{ℂ}F n’est pas holomorphe parce qu’il est défini par Ω = x_{2} d z_{1} − x_{1} d z_{2}.

Dans les sections suivantes nous étudions un certain nombre de feuilletages locaux Levi-flat dont les parties linéaires sont donnés par le Théorème 5.1.

6 Phénomène de Kupka-Reeb avec ensemble singulier holomorphe

On analyse dans cette section les perturbations non-linéaires intégrables et Levi-flat de la 1-forme linéaire donné par (5.3). Lorsque α_{2} ≠ β_{1} nous sommes en présence d’un phénomène de Kupka-Reeb. Dans le cas classique, ce phénomène est décrit par l’énoncé suivant, du à I. Kupka ([K]), conséquence du théorème de Darboux modélisant les 2-formes fermées:

Théorème Soit η un germe de 1-forme intégrable analytique réelle à l’origine de ℝ^{m}. On suppose que η(0) = 0 et d η(0) ≠ 0. Il existe un système de coordonnées u_{1}, … u_{n} de ℝ^{m} dans lequel η s’écrit

η = a(u_{1}, u_{2})d u_{1} + b(u_{1}, u_{2})d u_{2}.

Une façon équivalente de le dire est la suivante: si G est le feuilletage associé à η, G apparait comme pull-back via la projection (u_{1}, …, u_{m}) ↦ (u_{1}, u_{2}) d’un feuilletage G_{0} en dimension 2. On note parfois G ≃ G_{0} × ℝ^{m−2}. L’ensemble singulier est évidemment u_{1} = u_{2} = 0; on dit qu’il est de type Kupka-Reeb.

Le théorème ci dessus est aussi valable dans le cadre holomorphe, en classe C^{∞} et même en classe C^{r}, r ≥ 1, mais nous n’en ferons pas usage.

Soit F un germe de feuilletage Levi-flat à l’origine de ℂ^{n} défini par la 1-forme différentielle ω avec partie linéaire (5.3):

ω_{lin} = (α_{1} x_{1} + α_{2} y_{1})d x_{1} + (β_{1} x_{1} + β_{2} y_{1})d y_{1}, z_{1} = x_{1} + iy_{1}.

tel que

1. d ω(0) ≠ 0.

2. la matrice

(\begin{matrix}−β_{1} & −β_{2} \\ α_{1} & α_{2} \end{matrix})

est ℂ-diagonalisable, les valeurs propres λ et μ sont différents de 0 et

le quotient \frac{λ}{μ} n’est pas réel negatif.

3. \frac{λ}{μ}, \frac{μ}{λ} ∉ ℕ^{∗} \ \{1\} (sans résonances).

Soit F_{lin} le feuilletage linéaire donné par ω_{lin} = 0. Les feuilles de F_{lin}^{ℂ} sont données par z_{1} = cste, donc F_{lin}^{ℂ} est holomorphe et s’étend en un feuilletage sans singularités le long de {z_{1} = 0} qui est une singularité ”apparente”. Notre but dans cette section est de démontrer le

Théorème 6.1. Il existe une conjugaison continue entre F et F_{lin}; cette conjugaison est CR en dehors des ensembles singuliers.

Preuve: le premier fait qu’il faut remarquer d’après la nature de ω_{lin} est que l’espace tangent en chaque point de l’ensemble singulier est un hyperplan complexe; donc l’ensemble singulier est lui même une sousvariété lisse complexe de codimension (complexe) un. On peut alors supposer qu’il est donné par z_{1} = 0.

Pour simplifier l’exposé, on suppose n = 2 (de façon équivalente, on coupe le feuilletage par les 2-plans complexes contenant l’axe des z_{1}). D’après le théorème de Kupka (voir condition (1)), il existe ϕ, un difféomorphisme local en 0 ∈ ℂ^{2}, réel analytique, tel que ϕ^{∗}ω = Ad z_{1} + Ād z̄_{1}, où A est une fonction analytique réelle satisfaisant A(0) = 0 (car z_{1} = 0 est l’ensemble singulier) donc A(z_{1}, z̄_{1}) = αz_{1} + βz̄_{1}, α et β fonctions analytiques réelles ([B-G], Lemma 3.8). Écrivons ϕ(z_{1}, z_{2}) = (az_{1} + bz̄_{1}, γ), où a, b et γ sont aussi des fonctions analytiques réelles (la première composant de ϕ est nulle sur l’ensemble {z_{1} = 0} puisque cet ensemble est invariant par ϕ). Comme ω = (ϕ^{−1})^{∗}(ReAdz_{1}), on trouve d’après un calcul élémentaire:

ω = Re (A′dz_{1} + B′dz_{2}),

avec A′ ∈< z_{1}, z̄_{1} > et B′ ∈< z_{1}^{2}, z̄_{1}^{2}, z_{1}z̄_{1} >. Le feuilletage F^{ℂ} est donné par Ω = A′dz_{1} + B′dz_{2} = 0.

Affirmation: il existe c ∈ ℝ, positif, tel que |\frac{B′}{A′} | ≤ c|z_{1}|. En fait, |\frac{B′}{z_{1}^{2}} | est

borné. Écrivons A′ = A1^{′} + A2^{′}, où A1^{′} est la partie linéaire de A′. Par la condition (2) sur ω_{lin}, les valeurs propres λ et μ sont différents de ), donc

|\frac{A′_{1}}{z_{1}} | ≥ l pour l ∈ ℝ positif. Comme |\frac{A′_{2}}{z_{1}} | est petit pour |(z_{1}, z_{2})| petit, on a l’estimation.

Par conséquent, le champ Σ^{ℂ}(F) (qui est analytique réel, sans singularités hors de {z_{1} = 0}) complété par {z_{1} = 0} devient continu; on peut dire plus. Les feuilles de F^{ℂ} sont tranverses aux sections z_{2} = cste; alors, pour chaque m ∈ ℂ petit on peut définir l’application d’holonomie H^{m} : {z_{2} = 0} → {z_{2} = m} le long de {z_{1} = 0} (H^{m}(z_{1}, 0) = (z1^{′}, m) lorsque (z_{1}, 0) et (z1^{′}, m) appartiennent à la même feuille de F^{ℂ}, et H^{m}(0, 0) = (0, m)). L’inégalité donnée dans l’affirmation précédente nous permet d’appliquer le théorème de dépendance des solutions d’une équation différentielle par raport aux conditions initiales à l’équation Ω = 0 (avec z_{2} = t m, t ∈ ℝ) pour déduire que H^{m} est continue. Evidemment l’application correspondante pour F_{lin}^{ℂ} est H_{lin}^{m}(z_{1}, 0) = (z_{1}, m).

Les feuilletages F et F_{lin} coupent la droite {z_{2} = 0} selon deux feuilletages en courbes, singuliers à l’origine; par les conditions (2) et (3), ils sont analytiquement conjugués par un difféomorphisme holomorphe ϕ_{0} (Théorème de Poincaré, [Po]). Pour finir la preuve, il suffit d’étendre ϕ_{0} à chaque section {z_{2} = m} comme

ϕ_{m}(z_{1}, m) = H_{lin}^{m} ∘ ϕ_{0} ∘ (H^{m})^{−1}(z_{1}, m).

Remarque: le feuilletage en courbes complexes associé au feuilletage Leviflat défini par Re[z_{1} +t(iz_{1} +z_{1}^{m}z_{2})] = 0, où t ∈ R et m ≥ 1, est seulement de classe C^{m−1} le long de {z_{1} = 0} (l’application d’holonomie le long de cette feuille est de classe C^{m−1}).

7 Fonctions de Morse Levi-flat

Le but de cette section est d’étudier les 1-formes différentielles intégrables Levi-flat dont la partie linéaire est donné par (5.1) avec k = n. Selon un théorème de R. Moussu ([Mo]), une 1-forme différentielle analytique intégrable η à singularité simple (ou de Morse) en 0 ∈ ℝ^{m} (m ≥ 3),

η = d(∑_{j=1}^{k} x_{j}^{2} − ∑_{j=k+1}^{m} x_{j}^{2}) + …,

possède une intégrale première analytique du type

f = ∑_{j=1}^{k} x_{j}^{2} − ∑_{j=k+1}^{m} x_{j}^{2} + · · · .

Notre problème est d’étudier une telle fonction dans une voisinage de 0 ∈ ℂ^{n} lorsque le feuilletage associé est Levi-flat. Soient alors F_{lin} et F les feuilletages définis par les niveaux de f_{0} = Re(∑_{j=1}^{n} z_{j}^{2}) et de f = f_{0} + … respectivement. Le résultat de Burns et Gong, voir [B-G], mentionné dans l’introduction, nous permet de supposer que les niveaux f = 0 et f_{0} = 0 sont les mêmes; par conséquent , f = V.f_{0}, pour une fonction analytique réelle V avec V (0) = 1. On note S la quadrique complexe {∑_{j=1}^{n} z_{j}^{2} = 0}.

L’idée maintenant est de faire une explosion à l’origine de ℂ^{n} et d’analyser les feuilletages éclatés correspondants F̂_{lin}^{ℂ} et F̂^{ℂ}. Leurs équations respectives sont (dans le système de coordonnées où z_{j} = t_{j}z_{1}, 2 ≤ j ≤ n):

l dz_{1} + z_{1} ∑_{j=2}^{n} t_{j} dt_{j} = 0  (7.1)

et

(z_{1}l + qβ)dz_{1} + ∑_{j=2}^{n}(z_{1}^{2}t_{j} + z_{1}qα_{j})dt_{j} = 0  (7.2)

avec t = (t_{2}, …, t_{n}), l = l(t) = (1 + t_{2}^{2} + ⋯ + t_{n}^{2}) et q(z_{1}, t) = Re z_{1}^{2}l(t); les fonctions α_{j} et β sont analytiques réelles. Le diviseur exceptionnel E est invariant par F̂_{lin}^{ℂ}, dont l’ensemble singulier est E ∩ Ŝ (Ŝ est le transformé strict de S)

Lemme 7.1. Le feuilletage F̂^{ℂ} est de classe C^{2} le long de E′ = E \ Ŝ et de classe C^{1} sur E ∩ Ŝ.

Preuve: regardons l’équation (7.2) sous la forme

dz_{1} + ∑_{j=2}^{n}(\frac{z_{1}t_{j} + qα_{j}}{l + z^{−1}qβ})dt_{j} = 0

si l(t) ≠ 0; on constate facilement que les fonctions \frac{z_{1}t_{j} + qα_{j}}{l + z_{1}^{−1}qβ} (définies

comme 0 au point (0, t)) sont de classe C^{2}. Par contre, dans un voisinage de b ∈ E tel que l(b) = 0, il faut considérer (7.2) sous la forme

(l + z_{1}^{−1}qβ)dz_{1} + ∑_{j=2}^{n}(z_{1}t_{j} + qα_{j})dt_{j} = 0

qui est de classe C^{1} (la fonction z_{1}^{−1}qβ est définie comme 0 au point (0, b)).

Comme dans le cas linéaire, le diviseur exceptionnel E est invariant et E ∩ Ŝ est l’ensemble singulier. De plus, E ∩ Ŝ est un ensemble singulier de type Reeb-Kupka pour les deux feuilletages.

Si n ≥ 3, d’après Zariski le groupe fondamental de E′ := E \Ŝ est isomorphe a ℤ_{2}, en particulier les groupes d’holonomie Hol(F̂_{lin}^{ℂ}, E′) et Hol(F̂^{ℂ}, E′) sont engendrés respectivement par γ_{lin} et γ qui sont conjugués à l’involution linéaire z ↦ −z. Par exemple, les feuilles de F_{lin}^{ℂ} sont données par ∑_{j=1}^{n} z_{j}^{2} = c pour c ∈ ℂ; si z_{j} = t_{j}z_{1}, j = 2, … n, alors chaque feuille de F̂_{lin}^{ℂ} coupe la section transversale Γ_{a} : {t = a} à E′ selon l’ensemble défini par l’equation z_{1}^{2} = (1 + ∑_{j=2}^{n} a_{j}^{2})^{−1}c, et ainsi γ_{lin}(z_{1}) = −z_{1}. Nous allons trouver une conjugaison entre γ_{lin} et γ respectant les traces de F̂_{lin} et de F̂ sur la section Γ_{a}; ensuite, cette conjugaison sera poussée le long des feuilles de F̂_{lin}^{ℂ} et F̂^{ℂ}.

Soient H^{a,t} et H_{lin}^{a,t} les applications d’holonomie de E′ entre les sections Γ_{a} et Γ_{t} , a, t ∈ E′ pour les feuilletages F̂_{lin}^{ℂ} et F̂^{ℂ}. Évidemment H_{lin}^{a,t} est holomorphe, et H^{a,t} est une application de classe C^{2} d’après le lemme 7.1 (analytique réelle hors de E).

Corollaire 7.1. Le génerateur γ est une application de classe C^{2} (analytique réelle en dehors de 0 ∈ Γ_{a}), C^{2}-conjuguée à l’involution γ_{lin}(z_{1}) = −z_{1} par

ϕ = \frac{1}{2}(Id − γ).

On considère maintenant les restrictions à Γ_{a} de f_{0}(z_{1}, t_{2}z_{1}, …, t_{n}z_{1}) et f(z_{1}, t_{2}z_{1}, …, t_{n}z_{1}), que l’on note q(z_{1}) et q(z_{1}) + h(z_{1}), où le 2-jet de h est zéro.

Lemme 7.2. Il existe un difféomorphisme local ψ de Γ_{a} ≃ ℂ, 0 tel que d ψ(0) = Id, (q + h) ∘ ψ = q et ψ ∘ γ = γ_{lin} ∘ ψ; ψ est analytique réel en dehors de 0 ∈ ℂ et C^{1} en 0 ∈ ℂ.

Preuve: il s’agit du lemme de Morse équivariant; la démonstration se fait par la méthode du chemin. Après avoir conjugué γ par ϕ, on peut supposer que (q+h)∘γ_{lin} = q+h; on cherche ψ satisfaisant le lemme tel que ψ∘γ_{lin} = γ_{lin}∘ψ (notons qu’après conjugaison par ϕ, la nouvelle fonction q + h est de classe C^{2}, analytique réelle en dehors de 0 ∈ Γ_{a}).

La démonstration du lemme de Morse ordinaire procède de la façon suivante. On considère la fonction

F (s, z_{1}) = q(z_{1}) + sh(z_{1})

sur un petit voisinage de [0, 1] × {0} dans ℂ × ℂ; on construit un champ de vecteurs

Y = a(s, z_{1})\frac{δ}{δx_{1}} + b(s, z_{1})\frac{δ}{δx_{2}} + \frac{δ}{δs}, a(0, z_{1}) = b(0, z_{1}) = 0.

tangent au feuilletage F = cste, i.e., Y (F) = 0.

On conclut que, si ϕ_{t}(s, z_{1}) est le flot du champ Y,

ϕ_{t}(s, z_{1}) = (s + t, ψ_{t}(s, z_{1})),

alors le difféomorphisme ξ : z_{1} ↦ ϕ_{1}(0, z_{1}) conjugue F_{0} = q et F_{1} = q + h. On modifie la preuve de la façon suivante; on considère l’involution

σ(s, z_{1}) = (s, −z_{1}). Le champ X = \frac{1}{2}(Y + σ_{∗}Y) est invariant par σ et tangent au feuilletage F = cste. La conclusion précédente cette fois avec X nous donne un difféomorphisme ξ tel que (q+h)∘ξ = q. Comme q∘ξ′(0) = q, on peut prendre finalement ψ = ξ′(0) ∘ ξ^{−1}.

Maintenant le difféomorphisme ψ défini sur Γ_{a} doit être poussé le long des feuilles de F̂_{lin}^{ℂ} et F̂^{ℂ} en respectant la fibration de Hopf; le lemme 7.2 garantit que ce prolongement est bien défini et donne aussi une conjugaison entre F̂_{lin} et F̂. Il reste à analyser la nature de cette extension sur Ŝ.

Théorème 7.1. Si n ≥ 3, il existe une conjugaison continue entre F_{lin} et F, CR en dehors de S.

Preuve: soit ψ_{t} : Γ_{t} → Γ_{t} = H^{a,t} ∘ ψ ∘ H_{lin}^{t,a} le prolongement défini ci-dessus. Nous allons montrer que si t → b ∈ E ∩ Ŝ alors ψ_{t} → Id. Comme E ∩ Ŝ est de type Kupka-Reeb, on peut supposer que t ∈ E \ Ŝ appartient à une section transversale (de dimension complexe 1) à E ∩Ŝ par le point b, disons t_{j} = b_{j}, j ≥ 3 et b_{2} ≠ 0. Fixons a ∈ E′ dans la même section; on a (H_{lin}^{t,a}(z_{1}))^{2} = \frac{l(t)}{l(a)}z_{1}^{2}. Écrivons (7.1) et (7.2) comme (u = t_{2} − b_{2}):

(2b_{2}u + u^{2})dz_{1} + (b_{2}z_{1} + z_{1}u)du = 0

et

(2b_{2}u + u^{2} + z_{1}^{−1}qβ)dz_{1} + (b_{2}z_{1} + z_{1}u + qα)du = 0

D’après le Lemme 7.1, ces équations sont de classe C^{1}; on voit que les parties linéaires sont les mêmes. Ainsi, pour |z_{1}| < r,

lim_{t→b}H^{a,t} ∘ H_{lin}^{t,a} = Id .

Comme

lim_{t→b}H_{lin}^{a,t} ∘ ψ ∘ H_{lin}^{t,a} = d ψ(0) = Id

uniformément dans |z_{1}| < r, on peut conclure que

lim_{t→b}ψ_{t} = lim_{t→b}H^{a,t} ∘ H_{lin}^{t,a} ∘ H_{lin}^{a,t} ∘ ψ ∘ H_{lin}^{t,a} = Id .

Remarque. Si n = 2, E ≃ ℂℙ(1) et l’intersection E ∩ Ŝ est réduite à 2 points. Donc le groupe fondamental de E′ est isomorphe à ℤ, et on ne peut pas directement conclure que les feuilles complexes sont fermées dans un voisinage du diviseur exceptionnel.

8 Phénomène de Kupka-Reeb avec ensemble singulier non-holomorphe

Dans cette section on étudie les perturbations Levi-flat du cas linéaire (5.2).

Notons d’abord que nous pouvons supposer que SingF = {x_{1} = x_{2} = 0}. En fait, notons qu’en chaque point du lieu singulier SingF- qui est une variété lisse de codimension 2 réelle- le 1-jet est de même type. En particulier, en chaque point m ∈ SingF, il existe un ℂ- espace vectoriel T_{m} de codimension 2 contenu dans T_{m}SingF. Le théorème de linéarisation de Poincaré ([Po])et le théorème de Kupka ([K]), cf. Section 6, nous assurent l’existence de deux submersions f et g analytiques réelles telles que fd g − gd f définit F. Le lieu singulier SingF apparait comme l’intersection des hypersurfaces Leviflat lisses et transverses (f = 0) et (g = 0). En résulte que si m ∈ SingF alors T_{m} est exactement T_{m}^{ℂ}(f = 0)∩T_{m}^{ℂ}(g = 0); ceci implique que le champ T_{m} est donné par un système intégrable sur SingF: l’intersection des restrictions à SingF des systèmes intégrables T_{m}^{ℂ}(f = 0)|_{SingF} et T_{m}^{ℂ}(g = 0)|_{SingF}. La feuille passant par m est une variété complexe lisse contenue dans SingF. La feuille de T passant par le point (z_{1} = i y_{1}, z_{2} = i y_{2}, z_{2} = … z_{n} = 0) est paramétrée par une application du type

z′ = (z_{3}, …, z_{n}) ↦ (ϕ_{1}(i y_{1}, i y_{2}, z′), ϕ_{2}(i y_{1}, i y_{2}, z′), z′)

holomorphe en z′ et analytique réelle en y_{1}, y_{2}. Considérons l’unique application holomorphe ϕ̃:

(z_{1}, z_{2}, z′) ↦ (ϕ̃_{1}(z_{1}, z_{2}, z′), z′), ϕ̃_{2}(z_{1}, z_{2}, z′), z′)

telle que ϕ̃_{j}(i y_{1}, i y_{2}, z′) = ϕ_{j}(i y_{1}, i y_{2}, z′), j = 1, 2. Visiblement ϕ̃ est un difféomorphisme local et l’image par ϕ̃ de (x_{1} = x_{2} = 0) est précisément l’ensemble SingF. De sorte que dans la suite nous pouvons supposer que SingF = {x_{1} = x_{2} = 0}.

Considérons l’adhérence d’une feuille de F; elle est donnée par f/g = t, où t ∈ ℝℙ(1). Elle est d’autre part lisse et Levi-flat, donc feuilletée par des sous-variétés holomorphes L_{t,s} de codimension 1. Les intersections G_{t,s} = L_{t,s}∩SingF produisent un feuilletage analytique réel G_{t} régulier de SingF = {x_{1} = x_{2} = 0}; on note que chaque G_{t,s} contient un ouvert d’un (n − 2)- espace affine {(i y_{1}, i y_{2}, z′); z′ ∈ ℂ^{n−2}). On construit ainsi une famille G de feuilletages G_{t}, t ∈ ℝℙ(1), sur l’espace SingF. Noter, comme on l’a déjà dit, que cette famille est trivialisée par le feuilletage complexe engendré par les champs de vecteurs ∂/∂z_{3}, …, ∂/∂z_{n}. Finalement la donnée de la famille G revient à celle de la restriction G_{0} = G|(z′ = 0); on note que G_{0} est infinitésimalement donné par la famille de droites parallèles correspondant à l’exemple linéaire x_{1}d x_{2} − x_{2}d x_{1} = 0.

Définition 8.1. On appelle famille régulière H de feuilletages en l’origine de ℝ^{2} la donnée de feuilletages réguliers analytiques H_{t}, t ∈ ℝℙ(1), la tangente T_{t} à la feuille de H_{t} par 0 ∈ ℝ^{2} correspondant au paramètre t :

T_{t} = {y_{2} = ty_{1}}; la dépendance de H_{t} doit être analytique par rapport à t ∈ ℝℙ(1).

Ainsi à un feuilletage F comme ci-dessus on associe une famille régulière de feuilletages du plan ℝ^{2}: le feuilletage G_{0} obtenu par la construction précédente.

Deux familles régulières H et H′ de feuilletages en 0 ∈ ℝ^{2} sont conjuguées s’il existe un difféomorphisme local ϕ analytique en 0 tel que ϕ(H_{t}) = Ht^{′}.

La preuve du théorème suivant a un corollaire important:

Théorème 8.2. Soient F et F′ deux feuilletages analytiques réels Levi-flat à l’origine de ℂ^{n}. On suppose que F et F′ sont donnés par les 1-formes ω et ω′ avec j^{1}ω = j^{1}ω′ = x_{1}d x_{2} − x_{2}d x_{1}. Alors F et F′ sont CR- conjugués ^{1} si et seulement si les familles régulières associées G_{0} et G0^{′} sont conjuguées. De plus, si G0^{′′} est une famille régulière de feuilletages en l’origine de ℝ^{2}, il existe un feuilletage F′′ Levi-flat comme ci-dessus ayant pour famille associée G0^{′′}.

Preuve: on reprend les notations précédentes. On peut supposer d’abord que SingF = SingF′ = {x_{1} = x_{2} = 0}. On remarque ensuite que si ϕ est un difféomorphisme conjugant F à F′ alors ϕ laisse invariant {x_{1} = x_{2} = 0}. Si ϕ est de plus CR, l’image de la feuille holomorphe L_{t,s} introduite précédemment est une feuille correspondante Lt′,s′^{′}. Comme ϕ préserve {x_{1} = x_{2} = 0} on a

ϕ(L_{t,s} ∩ SingF) = Lt′,s′^{′} ∩ SingF′.

Remarquons que ϕ préserve le feuilletage de SingF donné par les champs de vecteurs ∂/∂z_{3}, …, ∂/∂z_{n}. Par conséquent, ϕ induit une conjugaison entre

G_{0} et G0^{′}.

Supposons maintenant que ϕ : (i y_{1}, i y_{2}) ↦ ϕ(i y_{1}, i y_{2}) conjugue G_{0} et G0^{′}. Soit ψ : ℂ^{n} → ℂ^{n} définit par

(z_{1}, z_{2}, z_{3}, …, z_{n}) ↦ (ϕ̃(z_{1}, z_{2}), z_{3}, … z_{n})

où ϕ̃ est l’extension holomorphe de ϕ. Considérons le feuilletage analytique réel Levi-flat F̃ = ψ(F); avec les notations précédents L̃_{t,s} = ψ(L_{t,s}) et ψ(L_{t,s}) ∩ {x_{1} = x_{2} = 0} = L̃_{t,s} ∩ {x_{1} = x_{2} = 0}. Mais par construction L̃_{t,s} ∩ {x_{1} = x_{2} = 0} = Lt′,s′^{′} ∩ {x_{1} = x_{2} = 0}; les hypersurfaces holomorphes L̃_{t,s} et Lt′,s′^{′} contiennent donc un ensemble analytique réel de codimension un, donc sont égales. On en déduit facilement que ψ(F) = F′.

1par un difféomorphisme analytique qui est CR en dehors du lieu singulier Sing(F).

Donnons nous maintenant une famille régulière G′′ à l’origine de ℝ^{2} = {(y_{1}, y_{2})}; le feuilletage G0,t^{′′} est donné par

{(y_{1}, y_{2}) ∈ ℝ^{2}; ϕ(i y_{1}, i y_{2}, t, s) = 0}

où ϕ est analytique submersive en (0, 0, t, 0) et Ker d_{(0,0,t,0)}ϕ = [t]. Considérons le feuilletage analytique réel en hypersurfaces holomorphes de ℂ^{n} dont les feuilles paramétrées par (t, s) sont données par

Lt,s^{′′} = {(z_{1}, z_{2}, …, z_{n}); ϕ̃(z_{1}, z_{2}, t, s) = 0}

où ϕ̃ est l’extension holomorphe de ϕ. On définit alors le feuilletage analytique réel F′′ dont les feuilles sont les ∪_{s}Lt,s^{′′}. Ce feuilletage qui a pour lieu singulier {x_{1} = x_{2} = 0} convient.

Une conséquence de la preuve est la suivante:

Corollaire 8.1. Si F et F′ comme précédemment sont CR-conjugués, ils le sont holomorphiquement.

On peut comprendre ce corollaire en revenant à l’exemple linéaire x_{1}d x_{2} − x_{2}d x_{1} = 0 dans ℂ^{2}. Le feuilletage en courbes holomorphes sous jacent est donné par le champ de vecteurs x_{1}∂/∂z_{1}+x_{2}∂/∂z_{2}, dont les feuilles sont données par z_{2} −tz_{1} = i s; soient U un voisinage de 0 ∈ ℂ^{2} et f : U → ℂ une fonction analytique réelle. On suppose que f est holomorphe en restriction à chaque droite {z_{2} − tz_{1} = i s} ∩ U; alors f est holomorphe. En effet, la condition implique que

(x_{1}∂/∂z_{1} + x_{2}∂/∂z_{2})(f̄) = 0.

Si on développe f comme f = ∑_{k,l} ā_{k l}(z_{1}, z_{2})z_{1}^{k} z_{2}^{l}, où les a_{k l} sont holomorphes, on a

∑_{k,l}(x_{1} \frac{∂}{∂z_{1}} + x_{2} \frac{∂}{∂z_{2}} )(a_{k l})z̄_{1}^{k}z̄_{2}^{l} =

∑_{k,l}(z_{1} \frac{∂}{∂z_{1}} + z_{2} \frac{∂}{∂z_{2}} )(a_{k l})z̄_{1}^{k}z̄_{2}^{l} + ∑_{k,l} \begin{matrix}∂a & k l \\ ∂z & 1 \end{matrix} z̄_{1}^{k+1}z_{2}^{l} + ∑_{k l} \begin{matrix}∂a & k l \\ ∂z & 2 \end{matrix} z̄_{1}^{k}z_{2}^{l+1} = 0.

Supposons que l’on ait montré que les fonctions a_{k l} sont constantes pour k + l < m. On obtient pour k + l = m que

∑_{k,l}(z_{1} \frac{∂}{∂z_{1}} + z_{2} \frac{∂}{∂z_{2}} )(a_{k l})z̄_{1}^{k}z̄_{2}^{l} = 0 ,

qui implique que a_{k l} est constant.

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