Preprint E48/2017
Fórmula pra calcular fatorial
Gabriel Teixeira Lira
Keywords:
PÁGINA 1 Sabemos que n! é a multiplicação dos números inteiros positivos de n até 1. Para entenderemos o valor de n! vamos pensar na seguinte representação: n!= n(n-1)•(n-2)•...•(n-k) Podemos pensar de maneira análoga usando termos aditivos, porém não devemos utilizar a Sn pois uma vez que utilizada, em alguns casos o resultado m por consequência não é um número inteiro. Por isso devemos usar a seguinte representação: Sn-1= 1+(n-k)+...+(n-2)+(n-1) Vejamos na prática porque não devemos utilizar a Sn. Bom uma vez que utilizada a razão n! não obtemos um número Sn Inteiro em alguns casos, vejamos um exemplo PÁGINA 2 Vejamos um exemplo com n=6 logo temos 720 = 34,285714... 21 Sabemos que existe a seguinte fórmula pra calcular a soma dos n primeiros números inteiros positivos: Sn= n(n+1) 2 Então m é a razão da multiplicação dos números inteiros positivos de n até 1 sobre a soma dos números inteiros positivos de 1 até n-1 m= n(n-1)•(n-2)•...•(n-k) 1+(n-k)+...+(n-2)+(n-1) • m= n! • • Sn-1 Vamos por isso em prática para n=5 e aplicar na fórmula pra calcular o fatorial. m= 5(5-1)•(5-2)•(5-3)•(5-4) 1+(5-3)+(5-2)+(5-1) PÁGINA 3 m= 5•4•3•2•1 1+2+3+4 m= 120 10 m= 12 PÁGINA 4 Agora sabemos o valor de m então podemos aplicar na fórmula. n!= m•n(n-1) 2 3!= 2•3(3-1) 2 3!= 6•2 2 3!= 12 3!=6 2 Vamos pensar numa tabela para m: n! razão n!/Sn-1 2! 2 3! 3 4! 4 5! 12 6! 48 • • • • • • r! n(n-1)•(n-2)•...•(n-k) 1+(n-k)+...+(n-2)+(n-1) PÁGINA 5 Logo está provado que o m da fórmula é a multiplicação dos números inteiros positivos de n até 1, sobre a soma dos números inteiros positivos de 1 até n-1 isso representado pela seguinte razão: n! Sn-1 fatorial de 0 e 1 é igual a 1 0!=1 1!=1 se fossemos considerar o fatorial de 0 valendo 0, e aplicassimos isso em um arranjo ou combinação seria um absurdo se levassimos em consideração um número n ou p valendo 0, na permutação se considerarmos o 0! nulo o produto por consequência resultará em 0. sendo assim n!>0. PÁGINA 6 Provemos agora que n(n-1)•(n-2)•...•(n-k) é sempre multiplo de 1+(n-k)+...+(n-2)+(n-1). Usemos a seguinte fórmula para provar isso: m•n(n+1) Vamos supor que n vale 5 para entendermos melhor esse raciocínio vamos usar a razão n! Sn m= 120 m= 8 15 logo 8•5(5+1) 8•5•6 Se considerarmos somente o produto 8•5 temos 40 como resultado. note que aumentamos +1 no valor de n m•n=p 8•5=40 PÁGINA 7 Vamos pensar de maneira análoga nesta outra forma que só muda a ordem dos fatores, mas desta vez vamos multiplicar n+1 por m para compararmos com a multiplicação de m•n. Vamos usar também n! Sn (n+1)m•n (5+1)8•5 6•8•6 Vamos considerar a multiplicação de (n+1)m logo temos 48. p+m 40+8=48 (n+1)m=p+m p=m•n (5+1)•8 p=8•5 6•8=48 p=40 PÁGINA 8 Quando aumentamos +1 no valor de n aumenta obrigatoriamente +m no resultado da equação ou seja +m no valor de p, ficando p+m. no caso de n=5 logo aumenta +8 no valor de p que vale 40 resultando em 48. logo está provado que n(n-1)•(n-2)•...•(n-k) é sempre multiplo de 1+(n-k)+...+(n-2)+(n-1) ou seja n! é sempre multiplo de Sn-1. PÁGINA 9 Logo o que precisa pra fórmula dar certo é o algoritmo m que é m= n! Sn-1 Pois quando inserimos esse algoritmo o fatorial de um número n é calculado. Logo podemos calcular o fatorial de um número com a seguinte fórmula: n!= m•n(n-1) 2 Notemos que com o seguinte algoritmo provo uma multiplicidade infinita m= n! Sn-1 Esse algoritmo está incluído na fórmula n!= m•n(n-1) então m= n! serve para 2 Sn-1 provar multiplicidade infinita entre os números. Teoria de Gabriel Teixeira