Preprint C8/2002
On some bidimensional versions of the generalized Benjamin-Ono equation
DDIC
Keywords: Benjamin-Ono equation | dispersive equations
\documentclass[11pt]{report} \usepackage{amsfonts,nnfootnote} \pagestyle{empty} \author{} \title{} \date{} \begin{document} \maketitle \begin{center} \textbf{Resumo} \end{center} Estudamos as equações: $$ u_t-H^{(x)}u_{xy}+u^pu_y=0,$$ $$ u_t-D_{\!x,y}u_x+u^p u_x=0, $$ que serão chamadas de g2D-BO e gZK-BO respectivamente. Elas podem ser consideradas em diferentes sentidos, versões bidimensionais da equação generalizada de Benjamin-Ono: $$ u_t-Hu_{xx}+u^pu_x=0,\; p \in \mathbb{N}.\textrm{\hskip 2cm (gBO)} $$ Aqui $H$ denota a transformada de Hilbert e $D_{\!x,y}$ é a derivada homogênea de ordem 1. Para g2D-BO provamos boa colocação em $H^s(\mathbb{R}^2),\;s>2$ e em espaços com pesos, usando o método de regularização parabólica. A não persistência em certos espaços com peso, para $p$ \'{\i}mpar conduz de maneira natural a princ\'{\i}pios de continuação única. Estimativas $L^p-L^q$ do grupo associado permitem provar boa colocação global para dados pequenos e espalhamento não linear para $p\geq 3,\;s>3$. Provamos também a não existência de ondas solitárias em $H^{1/2}$ do tipo $u(x,y,t)=v(x,y-ct),\;c>0,\;p\in \{1,2\}$. Para gZK-BO, indicamos como obter boa colocação em $H^s(\mathbb{R}^2), \;s>2$. Também não existem ondas solitárias em $H^{1/2}$ do tipo $u(x,y,t)=v(x-ct,y),\;c>0,\;p=2$. No entanto, obtemos para $p=1$ uma tal onda solitária em $H^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, positiva e com simetria radial. Finalmente provamos uma estimativa que permite concluir que para g2D-BO, com $p=1$, o fluxo local não é $C^2$ numa vizinhança do zero. \newpage \begin{center} \textbf{Abstract} \end{center} We study the equations: $$ u_t-H^{(x)}u_{xy}+u^pu_y=0,$$ $$ u_t-D_{\!x,y}u_x+u^p u_x=0, $$ that will be called g2D-BO and gZK-BO respectively. They can be con\-si\-de\-red, bidimensional versions of the generalized Benjamin-Ono equation: $$ u_t-Hu_{xx}+u^pu_x=0,\; p \in \mathbb{N}.\textrm{\hskip 2cm (gBO)} $$ Here $H$ denotes the Hilbert transform and $D_{\!x,y}$ is the homogeneous derivative of order 1. For g2D-BO we prove well-posedness in $H^s(\mathbb{R}^2),\;s>2$ and in weighted Sobolev Spaces, using the method of parabolic regularization. The lack of persistence in certain weighted spaces, for odd values of $p$, leads in a natural way to unique continuation principles. $L^p-L^q$ estimates of the associated group allow to show global well-posedness for small data and nonlinear scattering for $p\geq 3,\;s>3$. We also prove nonexistence of solitary waves in $H^{1/2}$ of the type $u(x,y,t)=v(x,y-ct),\;c>0,\;p\in \{1,2\}$. For gZK-BO, we indicate how to obtain local well-posedness in $H^s(\mathbb{R}^2), \;s>2$. There is no solitary waves in $H^{1/2}$ of the type $u(x,y,t)=v(x-ct,y),\;c>0,\;p=2$. However, for $p=1$ we have such a solution in $H^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, which is also positive and radially symmetric. Finally we prove an estimate that allows to conclude that for g2D-BO, with $p=1$, the local flow is not $C^2$ in a neighbourhood of the origin. \end{document}