A Franks' lemma that preserves invariant manifolds

Nikolaz Gourmelon

Keywords: Franks' lemma | linear cocycle | invariant manifolds | strong stable | unstable | homoclinic intersection

Un célèbre lemme de John Franks dit que toute perturbation de la différentielle d'un difféomorphisme $f$ le long d'une orbite périodique peut être réalisée par une $C^1$-perturbation $g$ du difféomorphisme sur un voisinage arbitrairement petit de ladite orbite. Ce lemme cependant ne donne aucune information sur le comportement des variétés invariantes de l'orbite périodique après perturbation. Dans cet article nous montrons que si la perturbation de la dérivée peut être jointe à la dérivée initiale par un chemin, alors la distance $C^1$ entre $f$ et $g$ peut être trouvée arbitrairement proche du diamètre du chemin. De plus, si des directions stables ou instables d'indices fixés existent le long du chemin, alors les variétés invariantes correspondantes peuvent être préservées en-dehors d'un voisinage arbitrairement petit de l'orbite. A well-known lemma by John Franks asserts that one can realise any perturbation of the derivative of a diffeomorphism $f$ along a periodic orbit by a $C^1$-perturbation $g$ of the whole diffeomorphism on an arbitrarily small neighbourhood of the periodic point. However, that lemma does not provide any information on the behaviour of the invariant manifolds of the periodic point for $g$. In this paper we show that if the perturbated derivative can be joined from the initial derivative by a continuous path, then the $C^1$-distance between $f$ and $g$ can be found arbitrarily close to the diameter of the path. Moreover, if strong stable or unstable directions of some indices exist along that path, then the corresponding invariant manifolds can be preserved outside a small neighbourhood of the orbit.

Anexos:

• Afrankslemma.pdf