Preprint C38/2005
Duas torres de corpos de funcoes sobre corpos finitos e as cotas de Drinfeld-Vladut e T.Zink
Juscelino Bezerra dos Santos
Keywords: corpos finitos | corpos de funcoes algebricas | torres de corpos de funcoes | codigos
O interesse de se estudar sequencias de corpos de funcoes sobre corpos finitos, ou geometricamente, sequencias de curvas algebricas projetivas irredutiveis e nao-singulares definidas sobre um corpo finito, foi revitalizado com a construcao dos codigos algebrico-geometricos por Goppa. Com esta construcao, Goppa buscava determinar uma sequencia de codigos atingindo a cota de Gilbert-Varshamov. Durante muito tempo os pesquisadores da teoria dos codigos corretores de erros foram incapazes de exibir construcoes de codigos com parametros relativos que atingissem ou superassem esta cota. Para surpresa de tais pesquisadores, Tsfasman, Vladut e Zink conseguiram uma sequencia de codigos de Goppa que superava a cota de Gilbert-Varshamov em alguns casos. Uma tal sequencia de codigos de Goppa foi construida a partir de uma sequencia de corpos de funcoes definidos sobre um corpo finito, chamada torre de corpos de funcoes. Existe um parametro assintotico a partir do qual se determina se uma torre de corpos da origem, ou nao, a uma boa sequencia de codigos corretores de erros. Este parametro, definido a partir do genero e do numero de lugares racionais de cada corpo de funcao que forma a torre, e chamado de limite da torre. Torres com limite positivo, conhecidas como torres assintoticamente boas, podem medir a precisao dos parametros relativos de codigos lineares, na medida em que melhoram a cota de Gilbert-Varshamov. O objetivo deste trabalho e apresentar duas novas torres assintoticamente boas com novas caracteristicas: sao definidas recursivamente por equacoes racionais nao-polinomiais, e tem passos com extensoes nao-Galois. A primeira é uma torre sobre um corpo de cardinalidade quadrada, definida recursivamente e que atinge a cota de Drinfeld-Vladut, portanto otimal. A segunda torre é definida sobre um corpo de cardinalidade cúbica. Nos mostramos que o limite desta torre generaliza a cota de Zink no caso em que a caracteristica é uma potência cúbica de um primo. Além disso, o limite desta torre tambem melhora a cota de Gilbert-Varshamov em alguns casos.