Preprint serie C209/2017
Projective and birational geometry of Grassmannians and other special varieties
Rick Antonio Rischter
Keywords: Grassmannians, Segre-Veronese varieties, osculating spaces, secant varieties, secant defect, degenerations of rational maps, birational geometry, Mori dream spaces, Fano varieties, spherical varieties, rational curves, blow-up, Mori chamber decomposition.

Na primeira parte desta tese, estudamos um invariante clássico de variedades projetivas, a “defeituosidade secante”. Dada uma variedade projetiva X, a variedade secante de X é definida como a união de todas retas secantes por dois pontos de X. Mais geralmente, a variedade h-secante de X é a união de todos os espaços lineares de dimensão h-1 que intersectam X em pelo menos h pontos. A dimensão esperada da variedade h-secante de X depende apenas da dimensão de X, e a sua dimensão de fato coincide com a esperada na maioria dos casos. Variedades cuja variedade h-secante tem dimensão menor que a esperada são especiais, elas são chamadas “variedades secante defeituosas”. A sua classificação é um problema clássico e em geral
difícil em geometria algébrica. Nesta tese fornecemos um novo método para abordar este problema usando espaços osculadores. Depois aplicamos este método para produzir novos resultados a respeito de defeituosidade secante de Grassmannianas e variedades de Segre-Veronese.
A segunda parte é dedicada a geometria algébrica moderna. Estudamos a geoemtria birracional de explosões de Grassmannianas em pontos. Descrever a geometria birracional de uma variedade, isto é, descrever todos os morfismos que ela admite, é um problema difícil em geral. Para uma classe especial de variedades, chamados Mori dream spaces (MDS), a geometria birracional é bem comportada e pode ser decodificada em uma informação combinatória finita. Nesta tese investigamos quando explosões de Grassmannianas em pontos gerais são MDS, e descrevemos sua geometria birracional em casos especiais.

MSC 2000: 14N05