Preprint serie C206/2016
Variation-diminishing maximal operators and the argument of L-functions
Renan Henrique Finder
Keywords:

Nossos primeiros resultados são sobre funções L. Supomos a hipótese de Riemann generalizada. Para cada ponto da reta crítica, associamos o argumento do valor da função L nesse ponto. Definimos assim uma função dos números reais aos números reais. Mostramos quotas para uma primitiva dessa função-argumento que, no caso de zeta, haviam sido descobertas por Carneiro, Chandee e Milinovich. Usando isso, exibimos uma nova prova de uma estimativa para o argumento, que é outra contribuição de Carneiro, Chandee e Milinovich. Concluímos com uma estimativa para as distâncias e as multiplicidades dos zeros da função L.

Também apresentamos teoremas sobre a derivada de operadores maximais, continuando um artigo de Carneiro e Svaiter. Consideramos o espaço de Sobolev das funções cuja p-ésima potência é integrável e cujas derivadas parciais de primeira ordem também têm p-ésima potência integrável. Mostramos que aplicar alguns operadores maximais, relacionados a equações diferencias parciais, deixa a norma do gradiente menor ou igual à original. Também mostramos, no caso de funções definidas em um espaço unidimensional e de variação limitada, que o operador faz a variação ficar menor ou igual. As funções estão ora no espaço euclidiano, ora no toro e ora na esfera. Nossos operadores são máximos sobre semi-retas, segmentos de reta ou cones no espaço da equação diferencial parcial. O passo principal das provas, como no trabalho de Carneiro e Svaiter, é demonstrar que a função maximal é subharmônica no conjunto onde ela é maior que a função inicial.