Preprint serie C205/2016
Geometric structures on degree 2 manifolds
Fernando Del Carpio-marek
Keywords: geometria graduada, fibrados vetoriais duplos, algebroides de Courant

Nesta tese tratamos o problema de expressar estruturas em variedades graduadas de grau 2 em termos clássicos que envolvam fibrados vetoriais e mapas entre eles. As estruturas que estudamos foram campos de vetores homológicos, colchetes de Poisson de grau -2 e funções de grau 3 integráveis. Estas estruturas aparecem naturalmente no estudo de algebroides de Lie, algebroides de Courant, modelos Poisson-sigma em teoria de cordas, geometria complexa generalizada, etc. As diversas caraterizações obtidas têm como ponto de partida o conceito de sequências involutivas DVB, que já aparece num trabalho não publicado de Bursztyn, Cattaneo, Mehta e Zambon sob o nome de sequências VB2, que fornecem uma caraterização simples e elegante de variedades de grau 2. A partir daí introduzimos o conceito de involutividade, que nos permite estabelecer um vínculo com uma subcategoria de fibrados vetoriais duplos, recuperando caraterizações, obtidas previamente por Li-Bland, de variedades de grau 2 em termos de fibrados duplos métricos, campos homológicos em termos de algebroides de Courant lineares e colchetes Poisson em termos de algebroides de Lie lineares compatíveis com a métrica linear subjacente. Obtemos uma descrição nova de 2-algebroides de Lie que é intrínseca, no sentido que uma vez introduzida decomposição é recuperada a noção existente de 2-algebroide de Lie, e estabelecemos um vínculo com os algebroides de Courant V-torcidos, introduzidos por Grutzmann e Strobl. Finalmente obtemos uma caraterização de funções de grau 3 integráveis em variedades Poisson de grau 2, que é análoga à descrição conhecida de estruturas de Poisson numa variedade em termos de um mapa anti-simétrico do algebroide de Lie cotangente associado ao algebroide de Lie tangente, sendo a condição de integrabilidade equivalente a esse mapa preservar as estruturas de algebroides de Lie. No caso simplético recuperamos a correspondência de Roytenberg, e obtemos uma descrição nova de algebroides de Courant em termos da sequência involutiva de algebroides de Lie e do 2-algebroide de Lie associados, e um mapa entre eles preservando as estruturas correspondentes.

MSC 2000: 53
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